اموزش جبر خطی
برای شروع، نکات زیر در جبرخطی بسیار مهم هستند:
- معادلات خطی
- ضرب ماتریس‌ها
- معکوس ماتریس
- تعیین رتبه ماتریس
- دستگاه معادلات خطی
- روش گاوس-جردن و روش جواب‌گر
- روش LU
- روش تقسیم به نیمه
حالا، به طور کلی به هر یک از این موضوعات بپردازیم تا بتوانید با جبر خطی آشنا شوید.
- معادلات خطی: معادلات خطی، معادلاتی هستند که شامل یک سری از متغیرهایی هستند که با ضرایب خطی در هم جمع شده‌اند و معمولاً در قالب ماتریس‌هایی به نمایش در می‌آیند. معادلات خطی به شکل زیر است:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b
در اینجا، x1 تا xn متغیرهای معادله هستند، a1 تا an ضرایب ثابتی هستند که با هر یک از متغیرها ضرب می‌شوند و b یک عدد ثابت است.
- ضرب ماتریس‌ها: ضرب دو ماتریس، یک عمل دوگانه است که دو ماتریس را به یکدیگر وابسته می‌کند و معمولاً به کمک ترکیب خطی انجام می‌شود. ضرب ماتریسی می‌تواند به شکل زیر باشد:
[A][B] = [C]
در اینجا، [A] و [B] دو ماتریس هستند که در هم ضرب شده‌اند و [C] نتیجه‌ی ضرب است.
- معکوس ماتریس: معکوس ماتریس، ماتریسی است که ضرب آن با ماتریس اصلی، ماتریس همانی (یعنی ماتریس با همان اندازه و درایه‌های اصلی به ازای اصلی‌بودن سطر و ستون درایه) می‌دهد. به
تعیین رتبه ماتریس: رتبه یک ماتریس، تعداد سطرهای مستقل یا تعداد ستون‌های مستقل در ماتریس است. برای محاسبه رتبه یک ماتریس، می‌توان از روش‌های مختلفی مانند روش مقطع و روش خطی استفاده کرد.
دستگاه معادلات خطی: دستگاه معادلات خطی، مجموعه‌ای از معادلات خطی است که مجموعه‌ای از متغیرهای مشترک دارند. این دستگاه‌ها را می‌توان در قالب ماتریس‌هایی نمایش داد و با استفاده از روش‌های مختلفی مانند روش گاوس-جردن و روش LU، آن‌ها را حل کرد.
روش گاوس-جردن و روش جواب‌گر: روش گاوس-جردن و روش جواب‌گر، دو روش محاسبه‌ی حل دستگاه معادلات خطی هستند. در روش گاوس-جردن، ماتریس دستگاه با استفاده از عملیات‌های ماتریسی ساده مانند جمع و تفریق سطرهای آن به صورت یک ماتریس سه‌گانه تبدیل می‌شود که به راحتی می‌تواند حل شود. در روش جواب‌گر، ماتریس دستگاه با استفاده از معکوس ماتریس محاسبه می‌شود.
روش LU: روش LU، یک روش حل دستگاه معادلات خطی است که با استفاده از تجزیه‌ی یک ماتریس به دو ماتریس کوچکتر، به حل دستگاه معادلات می‌پردازد.
روش تقسیم به نیمه: روش تقسیم به نیمه، یک روش برای حل دستگاه معادلات خطی با ماتریس‌های مربعی است که با تقسیم ماتریس به دو ماتریس کوچکتر و حل ساده‌تر هر یک از آن‌ه
معادلات خطی همگن: معادلات خطی همگن، دستگاهی از معادلات خطی است که مجموعه معادلات آن، دارای جمع‌شوندگانی با ضرایب صفر است. برای حل معادلات خطی همگن، می‌توان از روش‌هایی مانند روش تجزیه به بردارهای ویژه استفاده کرد.
معادلات خطی ناهمگن: معادلات خطی ناهمگن، دستگاهی از معادلات خطی است که مجموعه معادلات آن، دارای جمع‌شوندگانی با ضرایب غیرصفر است. برای حل معادلات خطی ناهمگن، می‌توان از روش‌هایی مانند روش گاوس-جردن و روش LU استفاده کرد.
فضای برداری: فضای برداری، مجموعه‌ای از بردارها است که با استفاده از عملیات جمع و ضرب در عدد، فضایی خطی ت
