نمونه سوال ریاضی عمومی ۱ با پاسخ تشریحی؛ حد، مشتق و انتگرال
این صفحه ۱۷ نمونه سوال ریاضی عمومی ۱ را در خود دارد: ۱۲ سوال چهارگزینه‌ای و ۵ مسئلهٔ تشریحی از حد، پیوستگی، مشتق، کاربردهای مشتق و انتگرال، همراه با پاسخ‌نامه‌ای که راه‌حل هر سوال را توضیح می‌دهد. سوالها را خودمان به سبک امتحان‌های رایج میانترم و پایانترم نوشته‌ایم و از دفترچهٔ هیچ دانشگاهی برداشته نشده‌اند.
مخاطب این مجموعه دانشجویان ترم اول رشته‌های مهندسی و علوم پایه‌اند که می‌خواهند پیش از امتحان، تسلط خود را روی محاسبات پایه بسنجند. پیشنهاد می‌کنیم ابتدا همهٔ سوالها را بدون نگاه به پاسخ حل کنید و بعد سراغ پاسخ‌نامه بروید.
سرفصل‌های پوشش داده شده
- حد توابع (Limit)، حدهای مثلثاتی و حد در بی‌نهایت
- پیوستگی (Continuity) و رفع ناپیوستگی
- قواعد مشتق‌گیری: ضرب، زنجیره‌ای و مشتق توابع نمایی و لگاریتمی
- کاربرد مشتق: خط مماس، نقاط اکسترمم و مسائل بهینه‌سازی
- انتگرال نامعین، انتگرال معین و روش جزءبه‌جزء
- محاسبهٔ مساحت بین دو منحنی
سوالات چهارگزینه‌ای
- مقدار حد sin(3x)/x وقتی x به صفر میل می‌کند کدام است؟
- الف) صفر
- ب) ۱
- ج) ۳
- د) ۱/۳
- حد عبارت (x² − 4)/(x − 2) وقتی x به ۲ میل می‌کند برابر است با:
- الف) صفر
- ب) ۴
- ج) ۲
- د) حد وجود ندارد
- حد (3x² + 1)/(x² − 5x) وقتی x به مثبت بی‌نهایت میل می‌کند کدام است؟
- الف) ۳
- ب) صفر
- ج) بی‌نهایت
- د) −۳/۵
- اگر f(x) = x³ − 3x باشد، مقدار f′(2) کدام است؟
- الف) ۲
- ب) ۶
- ج) ۱۲
- د) ۹
- مشتق تابع y = ln(x² + 1) کدام است؟
- الف) 1/(x² + 1)
- ب) 2x/(x² + 1)
- ج) 2x·ln(x² + 1)
- د) x/(x² + 1)
- مشتق تابع y = x·eˣ برابر است با:
- الف) eˣ
- ب) x·eˣ
- ج) (x + 1)·eˣ
- د) x²·eˣ
- تابع f(x) = x³ − 3x در کدام نقطه مینیمم نسبی دارد؟
- الف) x = −1
- ب) x = 0
- ج) x = 3
- د) x = 1
- مقدار انتگرال معین x² از صفر تا ۱ کدام است؟
- الف) ۱/۳
- ب) ۱/۲
- ج) ۱
- د) ۲/۳
- انتگرال نامعین cos(2x) کدام است؟
- الف) sin(2x) + C
- ب) 2·sin(2x) + C
- ج) (1/2)·sin(2x) + C
- د) −(1/2)·sin(2x) + C
- شیب خط مماس بر منحنی y = √x در نقطه‌ای به طول x = 4 چقدر است؟
- الف) ۲
- ب) ۱/۲
- ج) ۴
- د) ۱/۴
- تابع f برای x ≠ 1 با ضابطهٔ (x² − 1)/(x − 1) و در x = 1 با مقدار k تعریف شده است. به ازای کدام k تابع در x = 1 پیوسته است؟
- الف) ۰
- ب) ۲
- ج) ۱
- د) هیچ مقداری
- مقدار انتگرال معین 1/x از ۱ تا e کدام است؟
- الف) e
- ب) e − 1
- ج) ۱
- د) صفر
سوالات تشریحی
- حد عبارت (1 − cos x)/x² را وقتی x به صفر میل می‌کند محاسبه کنید.
- معادلهٔ خط مماس بر منحنی y = x²·ln x را در نقطه‌ای به طول x = 1 بنویسید.
- محیط یک مستطیل ۲۰ سانتی‌متر است. ابعاد مستطیل را طوری بیابید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد و مقدار این مساحت را به دست آورید.
- انتگرال نامعین x·eˣ را با روش جزءبه‌جزء محاسبه کنید.
- مساحت ناحیهٔ محصور بین دو منحنی y = x و y = x² را محاسبه کنید.
پاسخ‌نامه تشریحی
- گزینهٔ ج. می‌دانیم حد sin(u)/u در u=0 برابر ۱ است. عبارت را به صورت ۳ × sin(3x)/(3x) می‌نویسیم؛ بنابراین حد برابر ۳ × ۱ = ۳ می‌شود.
- گزینهٔ ب. صورت به (x − 2)(x + 2) تجزیه می‌شود و عامل x − 2 با مخرج ساده می‌شود. حد عبارت x + 2 در x=2 برابر ۴ است.
- گزینهٔ الف. درجهٔ صورت و مخرج برابر است، پس حد برابر نسبت ضرایب بزرگ‌ترین توان‌هاست: ۳/۱ = ۳. با تقسیم صورت و مخرج بر x² نیز همین نتیجه به دست می‌آید.
- گزینهٔ د. مشتق تابع برابر 3x² − 3 است. با جای‌گذاری x=2 داریم: ۳ × ۴ − ۳ = ۹.
- گزینهٔ ب. طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای، مشتق ln(u) برابر u′/u است. در اینجا u = x² + 1 و u′ = 2x، پس y′ = 2x/(x² + 1).
- گزینهٔ ج. با قاعدهٔ ضرب: مشتق x برابر ۱ و مشتق eˣ همان eˣ است؛ پس y′ = 1·eˣ + x·eˣ = (x + 1)·eˣ.
- گزینهٔ د. از f′(x) = 3x² − 3 = 0 نقاط بحرانی x = 1 و x = −1 به دست می‌آید. مشتق دوم 6x است که در x = 1 مثبت (۶) است، پس در x = 1 مینیمم نسبی و در x = −1 ماکزیمم نسبی داریم.
- گزینهٔ الف. تابع اولیهٔ x² برابر x³/3 است. مقدار آن در ۱ منهای مقدار آن در صفر برابر ۱/۳ − ۰ = ۱/۳ می‌شود.
- گزینهٔ ج. مشتق sin(2x) برابر 2·cos(2x) است، پس برای خنثی کردن ضریب ۲ باید در ۱/۲ ضرب کنیم. با مشتق‌گیری از (1/2)·sin(2x) دوباره cos(2x) به دست می‌آید.
- گزینهٔ د. مشتق √x برابر 1/(2√x) است. در x = 4 داریم 1/(2 × 2) = ۱/۴.
- گزینهٔ ب. برای پیوستگی باید مقدار تابع با حد آن برابر باشد. حد (x² − 1)/(x − 1) در x = 1 پس از ساده شدن برابر حد x + 1 یعنی ۲ است؛ پس k = 2.
- گزینهٔ ج. تابع اولیهٔ 1/x برابر ln(x) است. پس مقدار انتگرال ln(e) − ln(1) = ۱ − ۰ = ۱ است.
- تشریحی ۱. صورت و مخرج را در (1 + cos x) ضرب می‌کنیم: صورت به 1 − cos²x = sin²x تبدیل می‌شود. عبارت برابر (sin x / x)² × 1/(1 + cos x) است که حد آن ۱² × ۱/۲ = ۱/۲ می‌شود. با دو بار استفاده از قاعدهٔ هوپیتال نیز همین جواب به دست می‌آید.
- تشریحی ۲. مقدار تابع در x = 1 برابر ۱ × ln 1 = ۰ است، پس نقطهٔ تماس (۱ , ۰) است. مشتق با قاعدهٔ ضرب: y′ = 2x·ln x + x²·(1/x) = 2x·ln x + x که در x = 1 برابر ۱ می‌شود. معادلهٔ خط مماس: y − 0 = 1·(x − 1) یعنی y = x − 1.
- تشریحی ۳. اگر طول را x بگیریم، عرض برابر 10 − x است و مساحت A(x) = x(10 − x) = 10x − x² می‌شود. از A′(x) = 10 − 2x = 0 مقدار x = 5 به دست می‌آید و چون A″ = −2 منفی است، این نقطه ماکزیمم است. پس مستطیل مربعی به ضلع ۵ سانتی‌متر و بیشترین مساحت ۲۵ سانتی‌متر مربع است.
- تشریحی ۴. قرار می‌دهیم u = x و dv = eˣ dx؛ پس du = dx و v = eˣ. طبق فرمول جزءبه‌جزء: حاصل برابر x·eˣ منهای انتگرال eˣ است، یعنی x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)·eˣ + C. درستی جواب با مشتق‌گیری تأیید می‌شود: مشتق (x − 1)·eˣ برابر eˣ + (x − 1)·eˣ = x·eˣ است.
- تشریحی ۵. دو منحنی در x = 0 و x = 1 یکدیگر را قطع می‌کنند و در این بازه خط y = x بالاتر از سهمی است. مساحت برابر انتگرال (x − x²) از صفر تا ۱ است: تابع اولیه x²/2 − x³/3 است و مقدار آن ۱/۲ − ۱/۳ = ۱/۶ واحد مربع می‌شود.
چطور از این نمونه سوالها استفاده کنیم؟
بهترین نتیجه وقتی به دست می‌آید که این مجموعه را مثل یک آزمون واقعی حل کنید: زمان بگیرید، ماشین‌حساب را کنار بگذارید و راه‌حل هر سوال را کامل روی کاغذ بنویسید. بعد از تصحیح، سوالهای غلط را در سه دسته بگذارید: اشتباه محاسباتی، فراموش کردن فرمول و نفهمیدن مفهوم. دستهٔ سوم مهم‌ترین است و باید برای آن به درسنامه برگردید.
- در سوالهای حد، پیش از هر کاری مقدار را جای‌گذاری کنید تا نوع ابهام مشخص شود.
- در مشتق‌گیری، ابتدا ساختار تابع (ضرب، تقسیم یا ترکیب) را تشخیص دهید و بعد قاعده را انتخاب کنید.
- جواب هر انتگرال نامعین را با مشتق‌گیری امتحان کنید؛ این کار کمتر از یک دقیقه زمان می‌برد.
برای مرور درس می‌توانید از جزوهٔ کامل ریاضی ۱ دکتر رزوان کمک بگیرید و برای تمرین بیشتر به مسئله‌های پایان فصل کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال توماس مراجعه کنید. جزوه‌های دیگر درس‌های پایه در دستهٔ مهندسی و علوم پایه نوت یاب در دسترس است.
پرسش‌های متداول
این نمونه سوالها برای میانترم مناسب است یا پایانترم؟
سوالهای حد، پیوستگی و مشتق معمولاً در محدودهٔ میانترم قرار میگیرند و سوالهای انتگرال و مساحت در محدودهٔ پایانترم. چون بودجهبندی هر استاد فرق دارد، سرفصل اعلامشده در کلاس خودتان را ملاک قرار دهید.
آیا حل همین ۱۷ سوال برای قبولی در ریاضی ۱ کافی است؟
خیر. این مجموعه برای سنجش سریع و پیدا کردن نقاط ضعف طراحی شده است. برای تسلط باید از هر مبحث تعداد بیشتری مسئله حل کنید، به‌ویژه مسائل بهینه‌سازی و انتگرال‌گیری که به تمرین زیاد نیاز دارند.
در امتحان ریاضی ۱ می‌توان از قاعدهٔ هوپیتال استفاده کرد؟
این موضوع به نظر استاد درس بستگی دارد. برخی استادان تا پیش از تدریس کاربردهای مشتق، استفاده از هوپیتال را نمی‌پذیرند؛ بنابراین بهتر است روش‌های جبری و حدهای مثلثاتی پایه را هم بلد باشید.
منابع
- Thomas' Calculus – George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass
- Calculus: Early Transcendentals – James Stewart
آخرین به‌روزرسانی:
